Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是数列{a_n}的前n项和；数列{b_n}前n项的积为T_n，且Tn=2n(1-n)
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）是否存在常数a，使得{S_n-a}成等差数列？若存在，求出a，若不存在，说明理由．
（3）求数列{

1

Sn+1-1

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由题知a_n+a_n+1=4n，可得a_n+1+a_n+2=4（n+1），两式相减即得a_n+2-a_n=4，即数列{a_n}隔项成等差数列，分类可求；（2）先求得Sn=

n(a1+an)

2

=n2，假设存在a，由此展开退理得矛盾；（3）由（2）可得数列的通项公式，由裂项相消法可求和．

解答：解：（1）由题知a_n+a_n+1=4n，可得a_n+1+a_n+2=4（n+1），两式相减即得
a_n+2-a_n=4，即数列{a_n}隔项成等差数列
又a₁=1，代入式子可得a₂=3，
∴n为奇数时，an=a1+4(

n+1

2

-1)=2n-1；…（2分）
n为偶数时，an=a2+4(

n

2

-1)=2n-1．…（3分）
∴n∈N₊，a_n=2n-1…（4分）
又当n=1时 b1=T1=20=1，
n≥2时bn=

Tn

Tn-1

=22(1-n)=

1

4n-1

∴n∈N₊，bn=

1

4n-1

…（6分）
（2）由（1）知a_n=2n-1，数列{a_n}成等差数列
∴Sn=

n(a1+an)

2

=n2
∴Sn-a=n2-a，Sn+1-a=(n+1)2-a，Sn+2-a=(n+2)2-a
若存在常数a，使得{S_n-a}成等差数列，则（S_n-a）+（S_n+2-a）=2（S_n+1-a）在n∈N₊时恒成立
即n²-a+（n+2）²-a=2（（n+1）²-a）化简得：4=2，矛盾
故常数a不存在     …（10分）
（3）由（2）知

1

Sn+1-1

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+…+

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

…（13分）

点评：本题为数列的综合应用，涉及裂项相消法求和以及分类讨论的思想，属中档题．