Question

已知函数，f（0）=1-，且
（1）求a，b的值及f（x）的最大值和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）由f（x）的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数y=g（x）的图象？若能，请写出你的变换过程；否则说明理由．

Answer 1

解：（1）=a +bcos2x=++bcos2x．
由f（0）=1-，且可得 ，且，∴a=2，b=-．
∴f（x）=1+sin2x-cos2x=1+2sin（2x-），故它的最大值为3，最小值等于-1．
（2）若不等式|f（x）-m|＜2在x上恒成立，即m-3＜2sin（2x-）＜1+m．
由于≤x≤，∴≤2x-≤，∴≤2sin（2x-）≤2．
∴1+m＞2，m-3＜，解得1＜m＜，
故实数m的取值范围（1，）．
（3）由f（x）=1+2sin（2x-）可得，
把f（x）的图象向左平移个单位得到y=1+2sin2x的图象，
再向下平移1个单位可得y=2sin2x的图象，而y=2sin2x就是奇函数，
故由f（x）的图象可以经过平移变换得到一个奇函数y=g（x）的图象．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式，由条件求出a、b的值，进一步化简f（x）=1+2sin（2x-），从而求出函数的最大值和最小值．
（2）由条件可得x上时，m-3＜2sin（2x-）＜1+m恒成立，故有 ≤2sin（2x-）≤2．由 1+m＞2，m-3＜，求出实数m的取值范围．
（3）由f（x）=1+2sin（2x-） 可得，把f（x）的图象向左平移个单位得到y=1+2sin2x的图象，再向下平移1个单位可得y=2sin2x的图象，而y=2sin2x就是奇函数，从而得到结论．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，正弦函数的值域，函数的恒成立问题，以及函数的奇偶性，属于中档题．