Question

（1）若椭圆的方程是：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），它的左、右焦点依次为F₁、F₂，P是椭圆上异于长轴端点的任意一点．在此条件下我们可以提出这样一个问题：“设△PF₁F₂的过P角的外角平分线为l，自焦点F₂引l的垂线，垂足为Q，试求Q点的轨迹方程？”
对该问题某同学给出了一个正确的求解，但部分解答过程因作业本受潮模糊了，我们在

这些模糊地方划了线，请你将它补充完整．
解：延长F₂Q 交F₁P的延长线于E，据题意，
E与F₂关于l对称，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=

 

，
在△EF₁F₂中，显然OQ是平行于EF₁的中位线，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=

 

，
注意到P是椭圆上异于长轴端点的点，所以Q点的轨迹是

 

，
其方程是：

 

．
（2）如图2，双曲线的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦点依次为F₁、F₂，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点．请你试着提出与（1）类似的问题，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据题意：延长F₂Q 交F₁P的延长线于E，E与F₂关于l对称，所以|PE|=|PF₂|．所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=2a，在△EF₁F₂中，显然OQ是平行于EF₁的中位线，所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=a，注意到P是椭圆上异于长轴端点的点，易得答案．
（2）问题：如图，双曲线的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦点依次为F₁、F₂，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点．设△PF₁F₂的过P角的内角平分线为l，自焦点F₁引l的垂线，垂足为Q，试求Q点的轨迹方程？并加以证明．利用与（1）类似的方法进行证明即可．

解答：解：（1）根据题意：延长F₂Q 交F₁P的延长线于E，
E与F₂关于l对称，所以|PE|=|PF₂|．
所以|EF₁|=|PF₁|+|PE|=|PF₁|+|PF₂|=2a，
在△EF₁F₂中，显然OQ是平行于EF₁的中位线，
所以|OQ|=

1

2

|EF₁|=a，
注意到P是椭圆上异于长轴端点的点，所以Q点的轨迹是 圆（不含椭圆长轴端点），
其方程是：x²+y²=a²（x≠±a）
故答案为：2a，a，圆，x²+y²=a²（x≠±a）．
（2）问题：如图，双曲线的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），它的左、右焦点依次为F₁、F₂，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点．设△PF₁F₂的过P角的内角平分线为l，自焦点F₁引l的垂线，垂足为Q，试求Q点的轨迹方程？并加以证明．
证明：延长F₁Q 交F₂P的延长线于E，根据题意，
E与F₁关于l对称，所以|PE|=|PF₁|．
所以|EF₁|=|PF₁|-|PE|=|PF₁|-|PF₂|=2a，
在△EF₁F₂中，显然OQ是平行于EF₂的中位线，
所以|OQ|=

1

2

|EF₂|=a，
注意到P是椭圆上异于实轴端点的点，所以Q点的轨迹是 圆（不含双曲线实轴端点），
其方程是：x²+y²=a²（x≠±a）

点评：本题考查双曲线和椭圆的标准方程和简单性质，定义的应用，得出OQ是平行于EF₂的中位线是解题的难点．