Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，且过点（

2

，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率为

6

3

，且过点（

2

，1），求得椭圆的几何量，即可求椭圆的方程；
（2II）假设存在点M符合题意，设AB为y=k（x+1），代入椭圆方程可得关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），由利用韦达定理，及

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数，建立方程组，即可求得结论．

解答：解：（1）∵椭圆离心率为

6

3

，∴

c

a

=

6

3

，∴

b2

a2

=

1

3

．…（1分）
∵椭圆过点（

2

，1），代入椭圆方程，得

2

a2

+

1

b2

=1．…（2分）
∴a2=5，b2=

5

3

．…（4分）
∴椭圆方程为

x2

5

+

y2

5 3

=1，即x²+3y²=5．…（5分）
（2）在x轴上存在点M（

1

6

，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数．…（6分）
证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数，
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为k，∴L方程为y=k（x+1），
代入方程E：x²+3y²=5，得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（m，0），则x₁+x₂=-

6k2

3k2+1

，x₁x₂=

3k2-5

3k2+1

 …（8分）
∵

MA

=（x₁-m，y₁），

MB

=（x₂-m，y₂），
∴

MA

•

MB

+

5

3k2+1

=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²+

5

3k2+1

=

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3k2+1

…（10分）
设常数为t，则

-k2+6mk2+3m2k2+m2

3k2+1

=t．…（11分）
整理得（3m²+6m-1-3t）k²+m²-t=0对任意的k恒成立，
∴

3m2+6m-1-3t=0 m2-t=0

，解得m=

1

6

，…（13分）
即在x轴上存在点M（

1

6

，0），使

MA

•

MB

+

5

3k2+1

是与k无关的常数．…（14分）

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查向量知识的运用，考查了一定的计算能力．