Question

7．已知函数f（x）=x²+ax+3，x∈R．
（1）若f（2-x）=f（2+x），求实数a的值？
（2）当x∈[-2，4]时，求函数f（x）的最大值？
（3）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的最小值？

Answer 1

分析 （1）根据函数的对称性，得到对称轴为x=2，继而求出a的值，
（2）根据对称轴，分类讨论，根据函数的单调性得到函数f（x）的最大值，
（3）根据对称轴，分类讨论，根据函数的单调性得到函数f（x）的最小值，再根据f（x）≥a恒成立，求出a的最小值．

解答 解：（1）f（2-x）=f（2+x），
∴对称轴x=2，
∴-$\frac{1}{2}$a=2，
∴a=-4，
（2）f（x）=x²+ax+3=（x+$\frac{1}{2}$a）²+3-$\frac{1}{4}$a²，
当-$\frac{1}{2}$a≤-2时，即a≥4时，函数f（x）在[-2，4]单调递增，∴f（x）_max=f（4）=4a+19，
当-$\frac{1}{2}$a≥4时，即a≤-8时，函数f（x）在[-2，4]单调递减，∴f（x）_max=f（2）=2a+7，
当-2＜-$\frac{1}{2}$a≤4时，即-8＜a＜4时，函数f（x）在[-2，-$\frac{1}{2}$a）单调递减，在（-$\frac{1}{2}$a，4]单调递增，
∵f（4）=4a+19，f（2）=2a+7，
当4a+19≥2a+7时，即-6≤a＜4时，f（x）_max=f（4）=4a+19，
当4a+19＜2a+7时，即-8＜a＜-6时，f（x）_max=f（2）=2a+7，
综上所述：当a≥-6时，f（x）_max=4a+19，当a＜-6时，f（x）_max=2a+7；
（3）f（x）=x²+ax+3=（x+$\frac{1}{2}$a）²+3-$\frac{1}{4}$a²，
当-$\frac{1}{2}$a≤-2时，即a≥4时，函数f（x）在[-2，2]单调递增，∴f（x）_min=f（-2）=-2a+7，
当-$\frac{1}{2}$a≥2时，即a≤-4时，函数f（x）在[-2，2]单调递减，∴f（x）_min=f（2）=2a+7，
当-2＜-$\frac{1}{2}$a≤2时，即-4＜a＜4时，函数f（x）在[-2，-$\frac{1}{2}$a）单调递减，在（-$\frac{1}{2}$a，2]单调递增，
∴f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}a$）=3-$\frac{1}{4}$a²，
∵x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，
∴当a≥4时，-2a+7≥a，解得a≤$\frac{7}{3}$，此时无解，
当a≤-4时，2a+7≥a，解得a≥-7，即-7≤a≤-4，此时实数a的最小值为-7，
当-4＜a＜4时，3-$\frac{1}{4}$a²≥a，解得-6≤a≤2，即-4＜a≤2，此时实数a的最小值为-4，
综上所述a的最小值为-7．

点评 本题考查了二次函数的性质，关键是分类讨论，属于中档题．