Question

（本小题14分）

设函数，其中．

（I）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（II）求函数的极值点；

（III）证明对任意的正整数，不等式都成立．

Answer 1

（1）在定义域上单调递增（2）见解析（3）见解析

解析:

（I） 函数的定义域为．     1分

                          2分

令，则在上递增，在上递减  

．                             4分

当时，，

在上恒成立．

即当时,函数在定义域上单调递增． 5分

（II）分以下几种情形讨论：

（1）由（I）知当时函数无极值点．         6分

（2）当时，

时，时，

时，函数在上无极值点．         7分

（3）当时，解得两个不同解，8分

当时，，，

此时在上有唯一的极小值点．     9分

当时，

在都大于0 ，在上小于0 ，

此时有一个极大值点和一个极小值点．10分

综上可知，时，在上有唯一的极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；

时，函数在上无极值点．               

（III） 当时，

令则在上恒正 

在上单调递增              

当时，恒有．           12分

即当时，有，

对任意正整数，取得            14分