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已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn(p-1)Sn=p2-an,n∈N*,p>0,且p≠1,数列{bn}满足bn=2logpan
(1)求an,bn
(2)若p=
1
2
,设数列{
bn
an
}
的前n项和为Tn,求证:0<Tn≤4.
分析:(1)由于正数数列{an}的前n项和为Sn,且(p-1)Sn=p2-an,(n∈N*,p>0,p≠1),利用已知数列的前n项和求其通项的公式及等比数列的定义即可求得an,利用bn=2logpan,可求bn
(2)利用错位相减法求得数列的和,即可证得结论.
解答:(1)解:当n=1时,(P-1)a1=P2-a1,∴a1=P
当n≥2时,(P-1)Sn=P2-an①,(P-1)Sn-1=P2-an-1
由①-②得:
an
an-1
=
1
p

所以数列{an}是以a1=P为首项,公比为
1
P
的等比数列.
∴an=P2-n
∴bn=2logpan=4-2n;
(2)证明:p=
1
2
bn
an
=
4-2n
2n-2

∴Tn=2×
1
2-1
+0×
1
20
+…+
4-2n
2n-2

1
2
Tn=2×
1
20
+0×
1
21
+…+
6-2n
2n-2
+
4-2n
2n-1

两式相减可得
1
2
Tn=2×
1
2-1
-2×(
1
20
+
1
21
+…+
1
2n-2
)-
4-2n
2n-1

∴Tn=
n
2n-3
>0
∵当n>2时,Tn-Tn-1=
2-n
2n-2
<0,∴Tn≤T3=3
∵T1=T2=4,
∴0<Tn≤4.
点评:本题考查数列的通项与求和,考查不等式的证明,正确运用错位相减法是解题的关键.
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2log2bn+1+2
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