Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证AM∥平面BDE，直线证明直线AM平行平面BDE内的直线OE即可，也可以利用空间直角坐标系，求出向量

AM

，在平面BDE内求出向量

NE

，证明二者共线，说明AM∥平面BDE，
（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，说明∠BSA是二面角A-DF-B的平面角，然后求二面角A-DF-B的大小；也可以建立空间直角坐标系，求出

NE

•

DB

=0，

NE

•

NF

=0说明

NE

是平面DFB的法向量，求出平面DAF的法向量

AB

=(-

2

，0，0)，然后利用数量积求解即可．

解答：解：方法一
（Ⅰ）记AC与BD的交点为O，连接OE，
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE
∵OE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE
（Ⅱ）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，
∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF
∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角
在Rt△ASB中，AS=

6

3

，AB=

2，

∴tan∠ASB=

3

，∠ASB=60°，
∴二面角A-DF-B的大小为60°
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设AC∩BD=N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（

2

2

，

2

2

，0)、（0，0，1），
∴

NE

=（-

2

2

，-

2

2

，1)，
又点A、M的坐标分别是
（

2

，

2

，0）、（

2

2

，

2

2

，1)
∴

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1)
∴

NE

=

AM

且NE与AM不共线，
∴NE∥AM
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDF
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF
∴

AB

=(-

2

，0，0)为平面DAF的法向量
∵

NE

•

DB

=（-

2

2

，-

2

2

，1)•(-

2

，

2

，0)=0，
∴

NE

•

NF

=（-

2

2

，-

2

2

，1)•(

2

，

2

，0)=0得

NE

⊥

DB

，

NE

⊥

NF

∴NE为平面BDF的法向量
∴cos＜

AB，

NE

＞=

1

2

∴

AB，

NE

的夹角是60°
即所求二面角A-DF-B的大小是60°

点评：本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题