Question

（理）已知函数f（x）=log_a

x-1

x+1

（其中a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函数．
（1）已知关于x的方程log_a

m

(x+1)(7-x)

=f（x）在区间[2，6]上有实数解，求实数m的取值范围；
（2）当o＜a＜1时，讨论函数f（x）的奇偶性和增减性；
（3）设a=

1

1+p

，其中p≥1．记b_n=g（n），数列{b_n}的前n项的和为T_n（n∈N^*），求证：n＜T_n＜n+4．

Answer 1

分析：（1）依题意知，m=（x-1）（7-x），故求实数m的取值范围，就是求m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，利用二次函数的单调性可求得m的取值范围为[5，9]；
（2）利用函数奇偶性的定义可判断f（-x）=-f（x），知为奇函数，再任取1＜x₁＜x₂，令t（x）=

x-1

x+1

，利用单调性的定义可知t（x₁）-t（x₂）＜0，利用复合函数的单调性即可判断当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-1）上是减函数；
（3）g（x）=

1+ax

1-ax

，a=

1

1+p

，p≥1，当0＜a≤

1

2

时，1＜g（1）=

1+a

1-a

=1+

2

p

≤3＜5，由二项式定理（1+p）^k=1+

C

1 k

p¹+…+

C

k k

p^k得：b_k≤1+

2

C 1 k +C 2 k

-1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

，从而可证得结论．

解答：解：（1）由

m (x+1)(7-x) ＞0 x-1 x+1 ＞0 m (x+1)(7-x) = x-1 x+1

转化为求函数m=（x-1）（7-x）在x∈[2，6]上的值域，
该函数在[2，4]上递增，在[4，6]上递减，
∴m的最小值5，最大值9．
∴m的取值范围为[5，9]．
（2）f（x）=log_a

x-1

x+1

的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
定义域关于原点对称，又f（-x）=log_a

-x-1

-x+1

=loga

x+1

x-1

，即f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数．
下面讨论在（1，+∞）上函数的增减性．
任取1＜x₁＜x₂，令t（x）=

x-1

x+1

，则t（x₁）-t（x₂）=

x1-1

x1+1

-

x2-1

x2+1

=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
因为1＜x₁＜x₂，
∴t（x₁）-t（x₂）=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0，
又当0＜a＜1时，y=log_ax是减函数，
∴log_at（x₁）＞log_at（x₂）．由定义知在（1，+∞）上函数是减函数．
又因为函数f（x）是奇函数，所以在（-∞，-1）上函数也是减函数．
（3）∵g（x）=

1+ax

1-ax

；
因为a=

1

1+p

，p≥1，
∴0＜a≤

1

2

，1＜g（1）=

1+a

1-a

=1+

2

p

≤3＜5．
设k≥2，k∈N^*时，则b_k＞1，
且b_k=

1+ 1 (1+p)k

1- 1 (1+p)k

=1+

2

(1+p)k-1

由二项式定理（1+p）^k=1+

C

1 k

p¹+…+

C

k k

p^k得：
b_k≤1+

2

C 1 k +C 2 k

-1+

4

k(k+1)

=1+

4

k

-

4

k+1

，
从而n＜T_n＜b₁+（n-1）+2-

4

n+1

＜b₁+n+1≤n+4．

点评：本题考查二项式定理的应用，着重考查函数的奇偶性、复合函数的单调性与最值，考查转化思想与放缩法的综合应用，属于难题．