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已知A,B,C是坐标平面内不共线的三点,o是坐标原点,动点P满足
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]
(λ∈R),则点P的轨迹一定经过△ABC的(  )
A、内心B、垂心C、外心D、重心
分析:根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则,对
OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]
进行化简,得到
2(1-λ)
3
OD
+
1+2λ
3
OC
,根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线,从而得到点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
解答:解:去AB的中点D,则2
OD
=
OA
+
OB

OP
=
1
3
[(1-λ)
OA
+(1-λ)
OB
+(1+2λ)
OC
]

OP
=
1
3
[(1-λ)(2
OD
)+(1+2λ)
OC
]

=
2(1-λ)
3
OD
+
1+2λ
3
OC

2(1-λ)
3
+
1+2λ
3
=1

∴P、C、D三点共线,
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心.
故选D.
点评:此题是个中档题.考查向量的加法法则和运算法则,以及三点共线的充要条件,和三角形的五心问题,综合性强,体现了数形结合的思想.
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(  )

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已知A,B,C是坐标平面内不共线的三点,o是坐标原点,动点P满足(λ∈R),则点P的轨迹一定经过△ABC的( )
A.内心
B.垂心
C.外心
D.重心

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