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    (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.

    （文）对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.

    (1) 若成等比数列,求的值；

    (2) 在, 的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；

    (3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数  列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”. 于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确. 他将得到什么结论？

     

    【答案】

    （1）d=0（2）存在bn=4n-1为符合条件的一个子数列，因为bn="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{an}中的第M+1项（3）通过计算可以得到>，从而原命题为假命题

    【解析】

    试题分析：(1)由a32=a1a5，                                               ……2分

    即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0.                                            ……4分

    (2) an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列.                      ……7分

    因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M,                      ……9分

    这里M=+3+…+3n-2为正整数，

    所以,bn="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{an}中的第M+1项，得证.                   ……11分

    (注：bn的通项公式不唯一)

    (3) 该命题为假命题.                                                 ……12分

    由已知可得,

    因此,,又,

    故 ,        ……15分

    由于是正整数，且，则,

    又是满足的正整数，则,

    ,

    所以，> ,从而原命题为假命题.                                ……18分

    考点：本小题主要考查等差数列和等比数列是综合运算，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解以及推理论证的能力.

    点评：等差数列和等比数列是高考中常考的两种特殊数列，它们的判定和通项公式、前n项和公式的应用要熟练掌握，灵活应用.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）

    若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：

    ①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

    ②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；

    再利用可求得，进而求得．

    根据上述结论求下列问题：

    （1）当，（）时，求数列的通项公式；

    （2）当，（）时，求数列的通项公式；

    （3）当，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合．

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    科目：高中数学 来源：2011届上海市卢湾区高三上学期期末数学理卷 题型：解答题

    （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
    已知负数和正数，且对任意的正整数n，当≥0时, 有[, ]=
    [, ]；当<0时, 有[, ]= [, ]．
    （1）求证数列{}是等比数列；
    （2）若，求证；
    （3）是否存在，使得数列为常数数列？请说明理由

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省济宁市高三第二次月考文科数学 题型：解答题

    （本题满分18分）已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴正半轴上,点到其准线的距离等于5．

    （Ⅰ）求抛物线C的方程;

    （Ⅱ）如图,过抛物线C的焦点的直线从左到右依次与抛物线C及圆交于A、C、D、B四点,试证明为定值;

    （Ⅲ）过A、B分别作抛物C的切线且交于点M,求与面积之和的最小值．

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年上海市青浦区高三上学期期终学习质量调研测试数学试卷 题型：解答题

    (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

    设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．

    考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．

    （1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；

    （2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．

    （3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．

     

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    科目：高中数学 来源：上海市普陀区2010届高三第二次模拟考试数学文 题型：解答题

    （本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
    已知数列的首项为1，前项和为，且满足，．数列满足.
    （1） 求数列的通项公式；
    （2） 当时，试比较与的大小，并说明理由；
    （3） 试判断：当时，向量是否可能恰为直线的方向向量？请说明你的理由.

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