Question

设函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ≤π）在x=

π

6

处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f(x)-

3

≥0的解集；
（3）求函数g(x)=

4cos4x-2sin2x

f(x+ π 6 )

的值域．

Answer 1

分析：（1）依题意，其周期T=π，从而可求ω，由f（x）在x=

π

6

处取得最大值2，可求A；由

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z（-π＜φ≤π）可求φ；
（2）依题意，解不等式sin（2x+

π

6

）≥

3

2

，利用正弦函数的性质即可求得不等式的解集；
（3）经过化简整理，可得g（x）=cos²x+1，从而可求其值域．

解答：解：（1）由题设条件知f（x）的周期T=π，即

2π

2ω

=π，解得ω=1．------------------------（2分）
因f（x）在x=

π

6

处取得最大值2，所以A=2．
从而sin（2×

π

6

+φ）=1，
所以

π

3

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z．又由-π＜φ≤π得φ=

π

6

．
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）．----------------------------------------（4分）
（2）∵f（x）-

3

≥0，
∴sin（2x+

π

6

）≥

3

2

，…（5分）
∴

π

3

+2kπ≤2x+

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈Z…（6分）
∴

π

12

+kπ≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z…（7分）
∴原不等式的解集为{x|

π

12

+kπ≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z}…（8分）
（3）g（x）=

4cos4x-2sin2x

f(x+ π 6 )

=

4cos4x-2sin2x

2cos(2x)

=

4cos4x+2cos2x-2

2(2cos2x-1)

=

(2cos2x-1)(2cos2x+2)

2(2cos2x-1)

=cos²x+1=------（10分）（cos²x≠

1

2

）------（11分），
因cos²x∈[0，1]，…（12分）
且cos²x≠

1

2

，…（13分）       
故g（x）的值域为[1，

3

2

）∪（

3

2

，2]------（14分）

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，突出考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题．