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    六名学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练（即淘汰），若每个学生身体体能考核合格的概率是
    1
    2
    ，外语考核合格的概率是
    2
    3
    ，假设每一次考试是否合格互不影响．
    （Ⅰ）求某个学生不被淘汰的概率．
    （Ⅱ）求6名学生至多有两名被淘汰的概率．
    （Ⅲ）假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ=1的概率．
    分析：（Ⅰ）法一（直接法）：某个学生不被淘汰包括：①两个项目都不补考能通过；②两个项目中有一个项目要补考才能通过；③两个项目都要补考才能通过，利用互斥事件，可求概率；法二（间接法）先求被淘汰的概率，再利用对立事件的概率公式求解；
    （Ⅱ）6名学生至多有两名被淘汰包括3种情况，求出相应的概率即可；
    （Ⅲ）随机变量ζ=1的概率，即求参加补考1次的概率．
    解答：解：（Ⅰ）法一（直接法）：①两个项目都不补考能通过概率：P1=
    1
    2
    ×
    2
    3
    =
    1
    3

    ②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：P2=(1-
    1
    2
    )×
    1
    2
    ×
    2
    3
    +
    1
    2
    ×(1-
    2
    3
    )×
    2
    3
    =
    5
    18

    ③两个项目都要补考才能通过的概率：P3=(1-
    1
    2
    )×
    1
    2
    ×(1-
    2
    3
    )×
    2
    3
    =
    1
    18
    ∴P=P1+P2+P3=
    1
    3
    +
    5
    18
    +
    1
    18
    =
    12
    18
    =
    2
    3
    …（6分）
    法二（间接法）被淘汰的概率：P1=
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    1
    2
    ×(
    1
    3
    )2+(
    1
    2
    )2×(
    1
    3
    )2=
    1
    3
    ∴P=1-P1=
    2
    3

    （Ⅱ）P=
    C
    0
    6
    (
    1
    3
    )0(
    2
    3
    )6+
    C
    1
    6
    (
    1
    3
    )1(
    2
    3
    )5+
    C
    2
    6
    (
    1
    3
    )2(
    2
    3
    )4=
    496
    729
    …（9分）
    （Ⅲ） P(ξ=1)=
    1
    2
    ×
    1
    2
    +
    1
    2
    ×
    1
    3
    +
    1
    2
    ×
    1
    2
    ×
    2
    3
    =
    7
    12
    …（12分）
    点评：本题考查概率的求法，考查互斥事件概率公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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    1
    2
    ，外语考核合格的概率是
    2
    3
    ，假设每一次考试是否合格互不影响．
    ①求某个学生不被淘汰的概率．
    ②求6名学生至多有两名被淘汰的概率．
    ③假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ的分布列和数学期望．

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    ①求某个学生不被淘汰的概率。

    ②求6名学生至多有两名被淘汰的概率

    ③假设某学生不放弃每一次考核的机会，用表示其参加补考的次数，求随机变量的分布列和数学期望。

     

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    （Ⅰ）求某个学生不被淘汰的概率。
    （Ⅱ）求6名学生至多有两名被淘汰的概率
    （Ⅲ）假设某学生不放弃每一次考核的机会，用表示其参加补考的次数，求随机变量的概率。

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    （Ⅲ）假设某学生不放弃每一次考核的机会，用ζ表示其参加补考的次数，求随机变量ζ=1的概率．

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