Question

已知a,b,c,d∈R,a+b=c+d=1,且ac+bd＞1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.

Answer 1

解析：题目中a,b,c,d中至少有一个是负数的情况较多,而其反面却只有一种情况,故考虑用反证法证明.

证明：假设a,b,c,d全部是非负数,

∵a+b=c+d=1,

∴(a+b)(c+d)=1,

即(ac+bd)+(ad+bc)=1.

又∵ad+bc≥0,ac+bd≤1,

这与已知条件ac+bd＞1矛盾,假设错误.

故a,b,c,d中至少有一个是负数.