Question

（2011•宁德模拟）某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动．第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{1，2，3}），随即按如右所示程序框图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．
（Ⅰ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中，求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望；
（Ⅲ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得96万元的慈善款．问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件共9个，设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A，所包含的基本事件有（3，1），（3，3）共2个，故可求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率；
（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900，分别计算其概率，从而可得ξ的分布列与期望；
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中求出的购票者每人收益期望为-97，可得该机构此次收益期望，从而可知该慈善机构此次募捐能达到预期目标．

解答：解：（Ⅰ）从1，2，3三个数字中有重复取2个数字，其基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，…（2分）
设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件A，且事件A所包含的基本事件有（3，1），（3，3）共2个，
∴P(A)=

2

9

．…（4分）
（Ⅱ）设小叶参加此次活动的收益为ξ，ξ的可能取值为-100，900，9900．…（5分）
P(ξ=-100)=

999

1000

，P(ξ=900)=

1

1000

•

7

9

=

7

9000

，P(ξ=9900)=

1

1000

•

2

9

=

2

9000

．
∴ξ的分布列为

ξ	-100	900	9900
P	999 1000	7 9000	2 9000

…（8分）
∴Eξ=-100×

999

1000

+900×

7

9000

+9900×

2

9000

=-97．      …（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，购票者每人收益期望为-97．
∵有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出，
∴该机构此次收益期望为97×10000=970000元=97万元，
∵97＞96，
∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标．…（13分）

点评：本题以实际问题为载体，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查利用期望解决实际问题，解题的关键是确定变量的取值及计算相应的概率．