Question

【题目】在圆上任取一点，过点向轴作垂线段，垂足为，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为.

(1)求曲线的方程；

(2)过点(0，－2)作直线与交于两点，(O为原点)，求三角形面积的最大值，并求此时的直线的方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大面积为1，方程为

【解析】

(1)利用代入法求曲线的方程.(2)先求出三角形面积的解析式和k的范围，再求其最大值和此时直线的方程.

（1）设M(x，y)是曲线C上任一点，

因为PQ⊥x轴，M是PQ的中点，所以点P的坐标为(x，2y)．

因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2＋(2y)2＝4.

所以曲线C的方程是＋y2＝1.

(2当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－2，与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，

由Δ＝162k2－48(1＋4k2)>0，得k2>.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

因为S△OAB＝|OD||x1－x2|＝|x1－x2|＝

＝4.令4k2－3＝t，则4k2＝t＋3(由上可知t>0)，

SOANB＝4＝4,

当且仅当t＝4，即k2＝时取等号；

所以当k＝±时三角形OAB面积的最大值为1，

此时直线l的方程为y＝±x－2.