Question

【题目】已知函数.

（1）当时，证明： 为偶函数；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）代入，根据函数奇偶性的定义，即可判定为偶函数；

（2）利用函数单调性的定义，求得函数在上单调递增，进而得到对任意的恒成立，即可求解实数的取值范围；

（3）由（1）、（2）知函数的最小值，进而得，设，得不等式恒成立，等价于，进而恒成立，利用二次函数的性质即可求解实数的取值范围．

试题解析：

（1）当时， ，定义域关于原点对称，

而，说明为偶函数；

（2）在上任取、，且，

则，

因为，函数为增函数，得， ，

而在上单调递增，得， ，

于是必须恒成立，

即对任意的恒成立，

；

（3）由（1）、（2）知函数在上递减，在上递增，

其最小值，

且，

设，则，

于是不等式恒成立，等价于，

即恒成立，

而，仅当，即时取最大值，

故