Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设T_n=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

(n∈N*)，若Tn+

3n+5

2n

-

1

n

≤c恒成立，求实数c的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接设出公比和公差，根据条件求出公比和公差，即可求出通项；
（2）借助于错位相减法求出T_n的表达式，再利用Tn+

3n+5

2n

-

1

n

≤c恒成立，即可求实数c的最小值．

解答：解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10，得方程组

2+3d+2q3=27 8+6d-2q3=10

，解得

d=3 q=2

，
所以：a_n=3n-1，b_n=2ⁿ；
（2）Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=2×2^-1+5×2^-2+…+（3n-1）×2^-n，①
∴2T_n=2×2⁰+5×2^-1+…+（3n-4）×2^-n+（3n-1）×2^-n+1，②
②-①可得T_n=2+3×2^-1+…+3×2^-n+1-（3n-1）×2^-n=5-

3n+5

2n

∵Tn+

3n+5

2n

-

1

n

≤c恒成立，等价于5-

1

n

≤c恒成立，
∵n=1时，5-

1

n

取得最大值4
∴c≥4
∴实数c的最小值是4．

点评：本题考查等差数列和等比数列的综合问题，考查数列的求和，考查学生的计算能力，属于中档题．