Question

如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC．
（1）求证：AM⊥平面EBC；
（2）求二面角A-EB-C的大小．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定定理证明．
（2）建立空间直角坐标，利用向量法求二面角的大小．

解答：解：∵四边形ACDE是正方形，所以EA⊥AC，AM⊥EC，
∵平面ACDE⊥平ABC，
∴EA⊥平面ABC，
∴可以以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz．
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
∵M是正方形ACDE的对角线的交点，
∴M（0，1，1）．
（1）

AM

=(0，1，1)，

EC

=(0，2，0)-(0，0，2)=(0，2，-2)，

CB

=(2，2，0)-(0，2，0)=(2，0，0)，
∴

AM

•

EC

=0，

AM

•

CB

=0
∴AM⊥EC，AM⊥CB，
∴AM⊥平面EBC．
（2）设平面EBC的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

⊥

AE

且

n

⊥

AB

，
∴

n

•

AE

=0，

n

•

AB

=0．
∴

2z=0 2x+2y=0

，取y=-1，则x=1，则

n

=(1，-1，0)．
又∵

AM

为平面EBC的一个法向量，且）

AM

=(0，1，1)，
∴cos＜

n

，

AM

＞=

n ? AM

| n || AM |

=-

1

2

，
设二面角A-EB-C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜

n

，

AM

＞|=

1

2

，
∴二面角A-EB-C等60°．

点评：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的大小，运算量较大．