Question

已知∠A=60°，P、Q分别是∠A的两边上的动点，设AP=x，AQ=y
（1）如图左，若PQ=

3

，求△APQ面积的最大值，并求取得最大值时x，y的值；
（2）如图右，设∠MAP=α，∠MAQ=β，（α，β为定值），M在线段PQ上，且AM=

3

2

，求x+y的最小值，并求取得最小值时x，y的值．

Answer 1

分析：（1）由余弦定理可得xy≤3，故△APQ面积S△APQ=

1

2

xysin600=

3

4

xy≤

3 3

4

，当且仅当x=y=

3

时取等号．
 （2）由S_△APQ=S_△MAP+S_△NAP 可得

sinβ

x

+

sinα

y

=1，故由(x+y)(

sinβ

x

+

sinα

y

)=sinα+sinβ+

xsinα

y

+

ysinβ

x

 使用基本不等式得 x+y≥(

sinα

+

sinβ

)2，当且仅当

x=( sinα + sinβ ) sinβ y=( sinα + sinβ ) sinα

时取等号．

解答：解：（1）由余弦定理知：3=x²+y²-2xycos60°≥2xy-xy，故xy≤3，
所以，△APQ面积S△APQ=

1

2

xysin600=

3

4

xy≤

3 3

4

，
即△APQ面积的最大值为

3 3

4

，当且仅当x=y=

3

时取等号．
（2）由S_△APQ=S_△MAP+S_△NAP，即

1

2

xysin600=

1

2

x

3

2

sinα+

1

2

y

3

2

sinβ，
故xy=xsinα+ysinβ，得

sinβ

x

+

sinα

y

=1，
故(x+y)(

sinβ

x

+

sinα

y

)=sinα+sinβ+

xsinα

y

+

ysinβ

x

≥sinα+sinβ+2

sinαsinβ

=(

sinα

+

sinβ

)2，
即x+y≥(

sinα

+

sinβ

)2，即x+y的最小值为(

sinα

+

sinβ

)2，
当且仅当

x=( sinα + sinβ ) sinβ y=( sinα + sinβ ) sinα

时取等号．

点评：本题考查余弦定理，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件．