Question

已知函数f（x）=（1-2a）x³+（9a-4）x²+（5-12a）x+4a（a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0，求得的区间就是所求区间；
（2）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，根据极值与最值的求解方法，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，建立等量关系，求出参数a的范围即可．

解答：（1）解：当a=0时，f（x）=x³-4x²+5x，f′(x)=3x2-8x+5=3(x-1)(x-

5

3

)＞0，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，1]，[

5

3

，+∞)．
（2）解：一方面由题意，得

f(0)≤2 f(1)≤2 f(2)≤2

即0≤a≤

1

2

；
另一方面，当0≤a≤

1

2

时，f（x）=（-2x³+9x²-12x+4）a+x³-4x²+5x，
令g（a）=（-2x³+9x²-12x+4）a+x³-4x²+5x，则
g（a）≤max{g（0），g（

1

2

）}
=max{x³-4x²+5x，

1

2

（-2x³+9x²-12x+4）+x³-4x²+5x}
=max{x³-4x²+5x，

1

2

x²-x+2}，
f（x）=g（a）≤max{x³-4x²+5x，

1

2

x²-x+2}，
又

max

0≤x≤2

{x³-4x²+5x}=2，

max

0≤x≤2

{

1

2

x²-x+2}=2，且f（2）=2，
所以当0≤a≤

1

2

时，f（x）在区间[0，2]上的最大值是2．
综上，所求a的取值范围是0≤a≤

1

2

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．