Question

11．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），且f（1）=-$\frac{a}{2}$，a＞2c＞b．
（1）判断ab的符号．
（2）证明f（x）=0至少有一个实根在区间（0，2）内．
（3）求函数y=f（x）的图象被x轴所截的弦长取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件可得 2a+b＞0、且a+b＜0，再根据（2a+b）（a+b）＜0，化简可得ab＜0．
（2）根据a＞2c＞b，ab＜0，可得a＞0，b＜0．再根据f（1）＜0，2a+b＞0，f（2）=$\frac{a}{2}$+（2a+b）＞0，可得函数f（x）在（1，2）上必有一个零点，可得 f（x）=0至少有一个实根在区间（0，2）内．
（3）设函数f（x）的零点分别为 x₁、x₂，且x₁＜x₂，则由韦达定理可得函数y=f（x）的图象被x轴所截的弦长为|x₁-x₂|=$\sqrt{{（\frac{b}{a}+2）}^{2}+2}$．根据$\frac{b}{a}$∈（-2，-1），
 求得函数y=f（x）的图象被x轴所截的弦长的范围．

解答 解：（1）对于二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），由f（1）=a+b+c=-$\frac{a}{2}$，
可得c=-$\frac{3}{2}$a-b．
由a＞2c可得a＞-3a-2b，化简可得 2a+b＞0 ①，
再由2c＞b，可得-3a-2b＞b，即a+b＜0，
∴（2a+b）（a+b）＜0，化简可得 3ab=-2a²-b²＜0，即 ab＜0．
（2）根据a＞2c＞b，ab＜0，可得a＞0，b＜0．
再根据f（1）=-$\frac{a}{2}$＜0，2a+b＞0，f（2）=4a+2b+c=4a+2b+（-$\frac{3}{2}$a-b）=$\frac{a}{2}$+（2a+b）＞0，
可得函数f（x）在（1，2）上必有一个零点，∴f（x）=0至少有一个实根在区间（0，2）内．
（3）设函数f（x）的零点分别为 x₁、x₂，且x₁＜x₂，则由韦达定理可得x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$ x₁•x₂=$\frac{c}{a}$=$\frac{-\frac{3a}{2}-b}{a}$，
函数y=f（x）的图象被x轴所截的弦长为|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}-4•\frac{-\frac{3a}{2}-b}{a}}$=$\sqrt{\frac{{6a}^{2}{+b}^{2}+4ab}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{{（\frac{b}{a}+2）}^{2}+2}$．
根据a+b＜0，a＞0，b＜0，2a+b＞0，可得 $\frac{b}{a}$∈（-2，-1），
故当$\frac{b}{a}$趋于-2时，弦长趋于$\sqrt{2}$，当$\frac{b}{a}$趋于-1时，弦长趋于$\sqrt{3}$，
故函数y=f（x）的图象被x轴所截的弦长的范围为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质不等式的基本性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．