Question

20．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，又定义在（-1，1）上的奇函数g（x），当x＞0时有g（x）=f^-1（x），求g（x）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的关系进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x，
∴f^-1（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
即当x＞0时，g（x）=f^-1（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x，
若-1＜x＜0时，则-x＞0，则g（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），
∵定义在（-1，1）上的奇函数g（x），
∴g（-x）=-g（x），
则g（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x）=-g（x），
即g（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x），-1＜x＜0，
当x=0时，g（0）=0，
即g（0）=0，
则g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，}&{0＜x＜1}\\{0，}&{x=0}\\{-lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x），}&{-1＜x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和反函数的性质是解决本题的关键．