Question

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．
（1）求证：面EFG⊥面PAB；
（2）求异面直线EG与BD所成的角；
（3）求点A到面EFG的距离．

Answer 1

分析：解法一（1）由已知中ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，可得AD⊥AB，AD⊥PA，进而由线面垂直的判定定理得到AD⊥面PAB，结合E、F分别是线段PA、PD的中点及三角形中位线定理可得EF/AD，结合线面垂直的第二判定定理可得EF⊥面PAB，再由面面垂直的判定定理得到面EFG⊥面PAB；
（2）取BC的中点M，连接GM、AM、EM，由异面直线夹角的定义可得∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角，解△MAE可得答案．
（3）取AB中点H，连接GH，HE，过点A作AT⊥HE于T，则AT就是点A到平面EFG的距离，解Rt△AEH，即可得到点A到面EFG的距离．
解法二：（1）以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出向量

EF

，

AP

，

AB

的坐标，根据两个向量数量积为0，向量垂直，易判断出EF⊥AP，EF⊥AB，结合线面垂直的判定定理得到答案．
（2）分别求出向量

EG

，

BD

的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（3）求出平面EFC的法向量

n

，及向量

AE

的坐标，代入点A到平面EFG的距离公式d=|

AE • n

| n |

|，可得答案．

解答：解法一（1）证明：∵ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
且PA=AD=2，∴AD⊥AB，AD⊥PA
又AB∩PA=A，∴AD⊥面PAB．…（1分）
∵E、F分别是线段PA、PD的中点，
∴EF/AD，∴EF⊥面PAB．…（2分）
又EF?面EFG，∴面EFG⊥面PAB．…（3分）
（2）解：取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，
∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．（4分）
在Rt△MAE中，EM=

EA2+AM2

=

6

，
同理EG=

6

，…（5分）
又GM=

1

2

BD=

2

，∴在△MGE中，cos∠EGM=

EG2+GM2-ME2

2EG•GM

=

6+2-6

2 6 • 2

=

3

6

…（6分）
故异面直线EG与BD所成的角为arccos

3

6

，…（7分）
（3）解：取AB中点H，连接GH，HE，则GH∥AD∥EF，
∴E、F、G、H四点共面，过点A作AT⊥HE于T，
∵面EFGH⊥面PAB，∴AT⊥平面EFGH，…（9分）
∴AT就是点A到平面EFG的距离．…（10分）
在Rt△AEH中，AE=AH=1，
∴AT=

AE•AH

EH

=

1×1

2

=

2

2

，
故点A到平面EFG的距离为

2

2

．…（12分）
解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）．
（1）证明：∵

EF

=（0，1，0），

AP

=（0，0，2），

AB

=（2，0，0），
∴

EF

•

AP

=0×0+1×0+0×2=0，

EF

•

AB

=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF⊥AP，EF⊥AB．…（1分）
又∵AP、AB?面PAB，且PA∩AB=A，
∴EF⊥平面PAB．…（2分）
又EF?面EFG，∴平面EFG⊥平面PAB．…（3分）
（2）解：∵

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)，…（4分）
∴cos＜

EG

，

BD

＞=

EG • BD

| EG |•| BD |

=

-2+4

6 •2 2

=

3

6

，…（6分）
故异面直线EG与BD所成的角为arcos

3

6

．…（7分）
（3）解：设平面EFC的法向量

n

=（x，y，z），…（8分）
则

n • EF =(x，y，z)•(0，1，0)=0 n • EG =(x，y，z)•(1，2，-1)=0

∴

y=0 x+2y-z=0

…（10分）
令z=0，得

n

=（1，0，1）．…（11分）
又

AE

=（0，0，1），∴点A到平面EFG的距离d=|

AE • n

| n |

|=|

1

2

|=

2

2

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是向量语言表述直线的垂直关系，点到平面的距离运算，用空间向量求直线间的夹角，其中解法一（几何法）的关键是熟练掌握空间线面关系的判定、性质及相互转换；解法二（向量法）的关键是建立恰当的空间坐标系，将空间线面关系问题转化为向量夹角问题．