Question

6．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C，的对边，若asinC=2sinA．
（1）求c的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{a}{2}$，又由正弦定理及比例的性质可得：$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{a}{c}$，从而解得c的值．
（2）利用余弦定理可求cosB，解得sinB，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）∵2sinA=asinC，可得：$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{a}{2}$，
又由正弦定理及比例的性质可得：$\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{a}{c}$，
∴$\frac{a}{2}=\frac{a}{c}$，解得：c=2．
（2）∵a=$\sqrt{3}$，b=3，c=2．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{3+4-9}{2×\sqrt{3}×2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，解得：sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{33}}{6}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2×$$\frac{\sqrt{33}}{6}$=$\frac{\sqrt{11}}{2}$

点评 本题主要考查了正弦定理，比例的性质，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．