Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，当x∈[0，3]时，方程f（x）=x的所有根之和为6．

Answer 1

分析 先根据函数式得出，当x∈（n，n+1]时，f（x）=（x-n）²+n，再画出两函数的图象，根据图象得出方程的根，再求和即可．

解答 解：当x≤0时，f（x）=x²+2x=（x+1）²-1，所以，
当x∈（0，1]时，f（x）=f（x-1）+1=x²，
当x∈（1，2]时，f（x）=f（x-1）+1=（x-1）²+1，
当x∈（2，3]时，f（x）=f（x-1）+1=（x-2）²+2，
…
当x∈（n，n+1]时，f（x）=f（x-1）+1=（x-n）²+n，
函数图象如右图所示，再画出y=x的图象，
由图可知，当x∈[0，3]时，两图象共有四个交点，
分别为：（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），
即四个根为：x₁=0，x₂=1，x₃=2，x₄=3，
因此，所有根的和为：x₁+x₂+x₃+x₄=6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查了分段函数解析式的确定与根的个数判断，涉及二次函数的图象与性质，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．