Question

7．已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）是函数f（x）=ln|x|图象上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相垂直，则x₁-x₂的取值范围为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （0，2）
• C． [1，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 先通过分类讨论得出函数的导函数f'（x）=$\frac{1}{x}$，再根据切线垂直得出x₁x₂=-1，最后运用基本不等式求最值．

解答 解：因为f（x）=ln|x|，所以，
①x＞0时，f（x）=lnx，f'（x）=$\frac{1}{x}$，
②x＜0时，f（x）=ln（-x），f'（x）=-（-$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{x}$，
即f'（x）=$\frac{1}{x}$，
根据题意，函数图象在A，B两处的切线互相垂直，
所以，f'（x₁）•f'（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$•$\frac{1}{{x}_{2}}$=-1，
即x₁x₂=-1，且x₁＞x₂，所以x₁＞0＞x₂，
因此，x₁-x₂=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$≥2$\sqrt{{x}_{1}•\frac{1}{{x}_{1}}}$=2，
所以，x₁-x₂的取值范围为：[2，+∞）．
故答案为：D．

点评 本题主要考查了对数函数的图象与性质，涉及导数的运算和切线垂直的转化，以及运用基本不等式求最值，属于中档题．