Question

18．已知四棱锥P-ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，且∠DAB=$\frac{π}{3}$．
（I）求证：PB⊥AD；
（Ⅱ）求直线PC与平面PAB所成的角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点O，连结PO，BO，由等边三角形性质得PO⊥AD，由菱形性质得BO⊥AD，从而AD⊥平面POB，由此能证明PB⊥AD．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，求出平面PAB的法向量，由此利用向量法能求出直线PC与平面PAB所成的角θ的正弦值．

解答 （I）证明：取AD中点O，连结PO，BO．
侧面PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形且∠DAB=$\frac{π}{3}$，
∴PO⊥AD，BO⊥AD…2分
∵PO∩BO=O，∴AD⊥面POB…（4分）
∴PB⊥AD…（5分）
（Ⅱ）解：侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PO?面ABCD，PO⊥AD∴PO⊥面ABCD…（7分）
以O为坐标原点，OA方向为x轴，OB方向为y轴，OP方向为z轴建立空间直角坐标系，设A点坐标为（1，0，0）
则$B（0，\sqrt{3}，0），P（0，0，\sqrt{3}），C（-2，\sqrt{3}，0）$，
∴$\overrightarrow{PA}=（1，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{PC}=（-2，\sqrt{3}，-\sqrt{3}），\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$
设面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}-\sqrt{3}{z_1}=0}\\{-{x_1}+\sqrt{3}{y_1}=0}\end{array}}\right.$，令x₁=$\sqrt{3}$，解得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1），
∴sinθ=|$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{10}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{5}$，
即直线PC与面PAB所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…（12分）

点评 本题主要考查直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直等位置关系，考查线线垂直、线面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．