Question

10．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=PA=PD=3，CD=1，BC=4，E为线段AB上一点，AE=$\frac{1}{2}$BE，F为PD的中点．
（1）证明：PE∥平面ACF；
（2）求二面角A-CF-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接CE，DE，设DE∩AC=O，连接FO，推导出四边形AECD为平行四边形，从而OF∥PE，由此能证明PE∥平面ACF．
（2）取AD的中点G，连接PG，以C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴，y轴，$\overrightarrow{GP}$为z轴正方向，建立空间直角坐标系C-xyz，利用向量法能求出二面角A-PB-C的正弦值．

解答 证明：（1）连接CE，DE，设DE∩AC=O，连接FO，
∵$AE=\frac{1}{2}BE，AB=3，CD=1，AB∥CD$，∴$AE\underline{\underline∥}CD$，
∴四边形AECD为平行四边形，且O是DE的中点，
又∵F为PD的中点，∴OF∥PE，
∵OF?平面ACF，PE?平面ACF，
∴PE∥平面ACF．
解：（2）取AD的中点G，连接PG，
由PA=PD，得PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊥AD，
∴PG⊥平面ABCD，在Rt△CBE中，$CE=\sqrt{C{B^2}+E{B^2}}=\sqrt{{4^2}+{2^2}}=2\sqrt{5}$，
在等腰△PAD中，$AD=2\sqrt{5}$，∴$PG=\sqrt{P{A^2}-A{G^2}}=\sqrt{{3^2}-{{（{\sqrt{5}}）}^2}}=2$，
以C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴，y轴，$\overrightarrow{GP}$为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
由题知，$A（{3，4，0}），B（{0，4，0}），D（{1，0，0}），P（{2，2，2}），F（{\frac{3}{2}，1，1}）$，
∴$\overrightarrow{CF}=（{\frac{3}{2}，1，1}），\overrightarrow{CB}=（{0，4，0}），\overrightarrow{CA}=（{3，4，0}）$
设$\overrightarrow n=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$是平面CBF的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow n=0\\ \overrightarrow{CF}•\overrightarrow n=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}4{y_1}=0\\ \frac{3}{2}{x_1}+{y_1}+{z_1}=0\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow n=（{2，0，-3}）$．
设$\overrightarrow m=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$是平面CAF的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow m=0\\ \overrightarrow{CF}•\overrightarrow m=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}3{x_2}+4{y_2}=0\\ \frac{3}{2}{x_2}+{y_2}+{z_2}=0\end{array}\right.$得$\overrightarrow m=（{4，-3，-3}）$．
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow m＞=\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow m}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow m}|}}=\sqrt{\frac{17}{26}}$，
设二面角A-CF-B的平面角为θ，
则sinθ=$\sqrt{1-（\sqrt{\frac{17}{26}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{26}}{26}$．
∴二面角A-PB-C的正弦值为$\frac{{3\sqrt{26}}}{26}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．