Question

抛物线x²=2py（p＞0）内接Rt△OAB（O为坐标原点）的斜边AB过点（　　）

A．（2p，0）

B．（p，0）

C．（0，2p）

D．（0，p）

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线OA的方程为y=kx，由于OA⊥OB，可得直线OB的方程为：y=-

1

k

x．分别与抛物线的方程联立即可解得A，B的坐标，再利用点斜式方程可得直线AB的方程，进而得出过定点．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线OA的方程为y=kx，
∵OA⊥OB，∴直线OB的方程为：y=-

1

k

x．
联立

y=kx x2=2py

，解得A（2pk，2pk²）．
同理解得B(

-2p

k

，

2p

k2

)．
∴kAB=

2pk2- 2p k2

2pk+ 2p k

=k-

1

k

，
∴斜边AB所在的直线方程为y-2pk2=(k-

1

k

)(x-2pk)，
令x=0，则y=2p．
∴Rt△OAB（O为坐标原点）的斜边AB过点（0，2p）．
故选C．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立解得交点、相互垂直的直线的斜率之间的关系、直线过定点问题等基础知识与基本技能方法，属于中档题．