Question

（2013•枣庄二模）已知抛物线x²=2py上点（2，2）处的切线经过椭圆E：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的两个顶点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B、C两点．请问：是否存在一点D，使得直线BC恒过该点？若存在，请求出定点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，过点A作直线BC的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）利用导数求出抛物线在点（2，2）处的切线方程，得到椭圆的两个顶点坐标，则椭圆方程可求；
（2）设出过A点的两条直线的斜率，写出两条直线AB和AC的直线方程，和椭圆方程联立后求出B和C两点的坐标，结合斜率之积等于-4可以证明直线BC所在的直线方程为y=

k12-4

2k1

x，从而说明直线BC过定点（0，0）；
（3）设出H的坐标，由题意可知

AH

•

OH

=0，代入坐标后可得H的轨迹方程．

解答：解：（1）将（2，2）代入x²=2py，得4=4p，所以p=1，故抛物线方程为x²=2y．
即y=

1

2

x2．
y对x求导得y^′=x，所以抛物线x²=2y上点（2，2）处的切线的斜率为y^′|_x=2=2．
所以抛物线在点（2，2）处的切线方程为y-2=2（x-2），即y=2x-2．
它与两坐标轴的交点分别为（1，0），（0，-2）．
由题意可知，a=2，b=1．
所以椭圆E的方程分别为

y2

4

+x2=1；
（2）假设直线BC恒过定点D．
设直线AB的斜率k_AB=k₁，直线AC的斜率k_AC=k₂，则k₁k₂=-4．
从而直线AB的方程为y=k₁x+2．
联立

y2 4 +x2=1 y=k1x+2

，整理得(k12+4)x•(x+

4k1

k12+4

)=0．
从而点B的横坐标xB=-

4k1

k12+4

，yB=k1•(-

4k1

k12+4

)+2=

2(4-k12)

k12+4

．
所以点B的坐标为(-

4k1

k12+4

，

2(4-k12)

k12+4

)．
同理点C的坐标为(-

4k2

k22+4

，

2(4-k22)

k22+4

)．
于是，xB=-

4k1

k12-k1k2

=

4

k2-k1

，yB=

2(-k1k2-k12)

k12-k1k2

=

2(k2+k1)

k2-k1

．
xC=-

4k2

k22-k1k2

=

4

k1-k2

，yC=

2(-k1k2-k22)

k22-k1k2

=

2(k1+k2)

k1-k2

．
所以点B，C均在直线y=

k1+k2

2

x上．
而两点确定一条直线，所以直线BC的方程为y=

k1+k2

2

x，即y=

k12-4

2k1

x．
所以BC恒过定点D（0，0）；
（3）设H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，
所以

AH

•

OH

=0．
又因为

AH

=(x，y-2)，

OH

=(x，y)，
所以有x²+y（y-2）=0，即x²+（y-1）²=1．
所以H的轨迹方程为x²+（y-1）²=1（去掉点（0，2））．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了利用平面向量求轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，考查了学生的运算能力，属难题．