Question

（2013•枣庄二模）已知函数f(x)=x2-

ln|x|

x

，则函数y=f（x）的大致图象为（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：写出分段函数，分段求导后利用导函数的符号或导函数的零点判断函数f（x）的图象的形状．

解答：解：f(x)=x2-

ln|x|

x

=

x2- lnx x ，x＞0 x2- ln(-x) x ，x＜0

，
当x＜0时，f′(x)=2x-

1-ln(-x)

x2

=

2x3-1+ln(-x)

x2

．
令g（x）=2x³-1+ln（-x），
由g′(x)=6x2+

1

x

=

6x3+1

x

=0，得x=-

3	1 6

，
当x∈（-∞，-

3	1 6

）时，g^′（x）＞0，当x∈（-

3	1 6

，0）时，g^′（x）＜0．
所以g（x）有极大值为g(-

3	1 6

)=2×(-

3	1 6

)3-1+ln

3	1 6

=-

4

3

-

1

3

ln6＜0．
又x²＞0，所以f^′（x）的极大值小于0．
所以函数f（x）在（-∞，0）上为减函数．
当x＞0时，f′(x)=2x-

1-lnx

x2

=

2x3-1+lnx

x2

．
令h（x）=2x³-1+lnx，h′(x)=6x2+

1

x

＞0．
所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，而h（1）=1＞0，h（

1

2

）=-

3

4

-ln2＜0．
又x²＞0，所以函数f^′（x）在（0，+∞）上有一个零点，则原函数有一个极值点．
综上函数f（x）的图象为B中的形状．
故选B．

点评：本题考查了对数函数的图象和性质，考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．