Question

在数列{a_n}中，已知，a₁=2，a_n+1+a_n+1a_n=2 a_n．对于任意正整数n，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n的表达式；
（Ⅱ）若

n

i=1

ai(ai-1)＜M（M为常数，且为整数），求M的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，对于n∈N^*，a_n≠0，且

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)．由a₁=2，得

1

a1

-1=-

1

2

．则数列{

1

an

-1}是首项为-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．由此可求出通项a_n的表达式．
（Ⅱ）ai(ai-1)=

2i

(2i-1)2

，i=1，2，…，n．
当i≥2，

n

i=1

ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)++an(an-1)
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

++

2n

(2n-1)2

＜

21

(21-1)2

+(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)++(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)
=3-

1

2n-1

＜3．由此能求出M的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题意，对于n∈N^*，a_n≠0，且

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)．
由a₁=2，得

1

a1

-1=-

1

2

．则数列{

1

an

-1}是首项为-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．于是

1

an

-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，即an=

2n

2n-1

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得ai(ai-1)=

2i

(2i-1)2

，i=1，2，…，n．当i≥2时，因为ai(ai-1)=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1)(2i-2)

=

2i-1

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1-1

-

1

2i-1

，

所以

n

i=1

ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)++an(an-1)
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

++

2n

(2n-1)2

＜

21

(21-1)2

+(

1

21-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)++(

1

2n-1-1

-

1

2n-1

)
=3-

1

2n-1

＜3．
又

n

i=1

ai(ai-1)=a1(a1-1)+a2(a2-1)++an(an-1)
=

21

(21-1)2

+

22

(22-1)2

++

2n

(2n-1)2

＞

21

(21-1)2

=2，
故M的最小值为3．（14分）

点评：本题考查数列的合理运用，解题时要认真审题．注意公式的灵活运用．