Question

平面内动点M（x，y），

a

=（x-2，

2

y），

b

=（x+2，

2

y）且

a

•

b

=0
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且

CA

=

BD

①求k的值；
②若点N（

2

，1），求△NCD面积取得最大时直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）设动点M（x，y）．
∵

a

•

b

=0，∴(x-2)(x+2)+(

2

y)2=0，
化为

x2

4

+

y2

2

=1，即为点M的轨迹E的方程．
（Ⅱ）①在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得B（0，m），A(-

m

k

，0)．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+2y2=4

得到（1+2k²）x²+4mkx+2m²-4=0，
△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-4）=32k²-8m²+16，
x1+x2=-

4mk

1+2k2

，x1x2=

2m2-4

1+2k2

．
∵

CA

=

BD

，∴-

m

k

-x1=x2，∴-

4mk

1+2k2

=-

m

k

，
又m≠0，化为4k²=1+2k²，k2=

1

2

，
∵k＞0，∴k=

2

2

．
②|CD|=

1+k2

|x1-x2|=

1+ 1 2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

．
点N到CD的距离d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|．
∴S△NCD=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

3(4-m2)

•

6

3

|m|=

2

2

4-m2

|m|=

2

2

(4-m2)m2

≤

2

2

(

4-m2+m2

2

)=

2

．
当且仅当4-m²=m²时等号成立，即m²=2，解得m=±

2

．，此时△＞0，
所以直线的方程为l：y=

2

2

x±

2

．