Question

已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面??

(1) +=3-;?

(2) =4--.?

Answer 1

解法一:(1)原式可变形为

=+(-)+(-)= ++.?

由共面向量定理的推论知P与A、B、M?共面?．?

(2)原式可变形为=2+-+-

=2++.

由共面向量定理的推论可得

P位于平面ABM内的充要条件可写成=+x+y.

而此题推得=2++,?

∴P与A、B、M不共面．?

解法二:（1）原式可变形为

=3--.?

∵3+（-1）+（-1）=1,?

∴B与P、A、M共面,?

即P与A、B、M共面.?

（2）=4--,

∵4+（-1）+（-1）=2≠1,?

∴P与A、B、M不共面.?

温馨提示：判断点P是否位于平面MAB内，关键是看向量能否用向量、表示(或看向量是否能写成+x+y的形式)．当能用、表示时，P位于平面MAB内；当不能用、表示时，P不在平面MAB内．当=x+?y+z时，P与M、A、B共面的充要条件是x+ y+ z=1.本例利用这个结论判断P与M、A、B是否共面更简便.