Question

已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1
（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

Answer 1

解（Ⅰ）∵函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
当且仅当a＞0且x=

2b

a

≤1，
即2b≤a．
若a=1，则b=-1；
若a=2，则b=-1，1；
若a=3，则b=-1，1，
∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5
∴所求事件的概率为

5

15

=

1

3

．
（Ⅱ）由（1）知当且仅当2b≤a．且a＞0时，
函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
构成所求事件的区域为三角形部分．
由

a+b-8=0 b= a 2

，解得a=

16

3

，b=

8

3

，即交点坐标（

16

3

，

8

3

），
∴所求事件的概率为P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

．