Question

[x]为x的整数部分．当n≥2时，则[

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

]的值为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：由

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≤1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

，

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≥

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

，利用裂项求和法能求出当n≥2时，[

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

]的值．

解答：解：∵

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≤1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）
=1+（1-

1

n

）=2-

1

n

．

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

≥

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

．
∴当n≥2时，则[

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

]=1．
故选B．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．