Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer 1

（1）由已知，椭圆方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，
∴b=c=1 ， a=

2

．
所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，所以直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2+2y2=2 y=x-1

得3y²+2y-1=0，解得y1=-1，y2=

1

3

．
∴S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．
（3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴y1y2=

-k2

1+2k2

因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形?

OP

•

OQ

=0．
由

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

2k2-2

1+2k2

+

-k2

1+2k2

=0得k²=2，
∴k=±

2

．
∴所求直线的方程为y=±

2

(x-1)．