Question

13．设函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$），且其图象关于直线x=0对称，则（　　）

• A． y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为增函数
• B． y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数
• C． y=f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，且在（0，$\frac{π}{4}$）上为增函数
• D． y=f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，且在（0，$\frac{π}{4}$）上为减函数

Answer 1

分析 通过两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kπ（k∈Z），再由φ的范围，求出φ的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），可得出（0，$\frac{π}{2}$）?[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），即可得到函数在（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数，进而得到正确的选项．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）
=2[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x+φ）+$\frac{1}{2}$cos（2x+φ）]
=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$），
∴ω=2，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
又函数图象关于直线x=0对称，
∴φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
即φ=kπ$+\frac{π}{3}$（k∈Z），
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），
解得：kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
∴函数的递减区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），
又（0，$\frac{π}{2}$）?[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z），
∴函数在（0，$\frac{π}{2}$ ）上为减函数，
则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数．
故选：B．

点评 本题考查了两角和与差的三角函数，三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的突破点，是中档题．