Question

（选做题）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=-3t+2 y=4t.

(t为参数），P为C₁上的动点，Q为线段OP的中点．
（Ⅰ）求点Q的轨迹C₂的方程；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴（两坐标系取相同的长度单位）的极坐标系中，N为曲线ρ=2sinθ上的动点，M为C₂与x轴的交点，求|MN|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设Q（x，y），则∵Q为线段OP的中点，∴点P（2x，2y），
又P为C₁上的动点，曲线C₁的参数方程为

x=-3t+2 y=4t

∴

2x=-3t+2 2y=4t

（t为参数）
∴

x=- 3 2 t+1 y=2t

（t为参数）
∴点Q的轨迹C₂的方程为

x=- 3 2 t+1 y=2t

（t为参数）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得点M（1，0），
∵曲线ρ=2sinθ
∴ρ²=2ρsinθ
∴x²+y²=2y
∴x²+（y-1）²=1
即曲线ρ=2sinθ的直角坐标方程为x²+（y-1）²=1
∴|MN|的最大值为

12+12

+1=1+

2

．