Question

已知a＞1，当x∈[2，+∞）时，函数f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒为正．
（1）求a的取值范围；
（2）记（1）中a的取值范围为集合A，函数g（x）=㏒₂（tx²+2x-2）的定义域为集合B．若A∩B≠Φ，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）当x∈[2，+∞）时，x²-ax+2＞1恒成立
即当x∈[2，+∞）时，a＜x+恒成立；…
又因为函数x+在[2，+∞）上是增函数，所以（x+）_min=，
∴1＜a＜．…
（2）A=（1，），B={x|tx²+2x-2＞0}．…
由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有属于A的解，即t＞-有属于A的解；
又1＜x＜时，即＜＜1，…
所以-=2（-）²-∈[-，0）．
故t＞-．…
分析：（1）a＞1，当x∈[2，+∞）时，函数f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒为正可转化成当x∈[2，+∞）时，x²-ax+2＞1恒成立，然后将a分离出来，利用函数的单调性求解不等式另一侧的最值，从而求出a的取值范围；
（2）由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有属于A的解，即t＞-有属于A的解，根据二次函数的性质求出不等式右侧的最小值，即可求出t的取值范围．
点评：本题主要考查了利用参数分离法求恒成立问题，以及二次函数的性质，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．