Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₃，S₉，S₆成等差数列，判断a₂，a₈，a₅是否成等比数列，并说明理由．

Answer 1

分析：由已知，S₃，S₉，S₆成等差数列，既有 S₃+S₆=2S₉，分q=1，q≠1 两种情形利用等比数列前n项和公式化简S₃+S₆=2S₉得到关于q的方程，求出q的值后，再按照等比数列的定义判断a₂，a₈，a₅是否成等比数列．

解答：解：由已知，S₃，S₉，S₆成等差数列，S₃+S₆=2S₉
若q=1，则有S₃=3a₁，S₆=6a₁，S₉=9a₁．
即得3a₁+6a₁=18a₁，得a₁=0，不符合．∴q≠1．
∴

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

2a1(1-q9)

1-q

整理得q³（2q⁶-q³-1）=0．
由q≠0得方程2q⁶-q³-1=0．（2q³+1）（q³-1）=0，∵q≠1，q³-1≠0，
∴2q³+1=0，q3=-

1

2

．

a8

a2

=q6= (q3)2 =

1

4

，

a5

a8

=

1

q3

=-2，

a8

a2

≠

a5

a8

．
所以a₂，a₈，a₅不成等比数列．

点评：本题考查利用定义判断等比数列，等差数列的性质、等比数列前n项和公式，分类讨论的意识．在表示等比数列的前n项和时，务必注意公比q是否为1．