Question

已知正方形  、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为 

(I) 证明平面;

(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值 

Answer 1

分析:充分发挥空间想像能力，重点抓住不变的位置和数量关系，借助模型图形得出结论，并给出证明.

解: (I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,

EB//FD,且EB=FD,

四边形EBFD为平行四边形 

BF//ED.

,平面 

(II)如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD 

ACD为正三角形,AC=AD.

CG=GD.

G在CD的垂直平分线上, 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,

过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角  即.

设原正方体的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, .

 在RtADE中, .

,