Question

已知E为不等式组

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

表示区域内的一点，过点E的直线m与M：（x-1）²+y²=14相交于A，C两点，过点E与m垂直的直线交圆M于B、D两点，当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为（　　）

• A．4

  5

• B．6

  7

• C．8

  42

• D．6

  14

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图所示的△PQN及其内部，由圆的性质得出当点E与图中N点重合且直线m与经过E点的直径垂直时，线段AC长取到最小值．由此利用两点的距离公式和垂径定理加以计算，即可得到当AC取最小值时四边形ABCD的面积．

解答：解：作出不等式组

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

表示的平面区域，
得到如图所示的△PQN及其内部，
其中Q（1，1），P（2，1），N（0，2）
根据题意，当点E与N重合，且直线m与经过E点的直径垂直时，
线段AC长取到最小值，
∵M（1，0），得|MN|=

(1-0)2+(0-2)2

=

5

∴线段AC长最小时，|AC|=2

r2-|MN|2

=6
∵BD、AC互相垂直，线段AC长最小时BD为直径
∴四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

×6×2

14

=6

14

即当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为6

14

故选：D

点评：本题着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系和垂径等知识，属于中档题．同时考查了一元二次不等式表示的平面区域和四边形面积的求法等知识，是一道不错的综合题．