Question

已知函数f（x）=

-x3+bx2+cx+d，x＜1 alnx，x≥1

的图象过坐标原点O，在x=0处取得极值，且在点（-2，f（-2））处的切线的斜率是-16．
（1）求实数b，c，d的值；
（2）求f（x）在区间[-2，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的图象过坐标原点O，在x=0处取得极值，且在点（-2，f（-2））处的切线的斜率是-16，构造关于b，c，d的方程，解方程可得实数b，c，d的值；
（2）根据（1）中结论，分类讨论函数f（x）在区间[-2，2]上的单调性，进而分析出最大值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答：解：（1）当x＜1时，f（x）=-x³+bx²+cx+d，则f′（x）=-3x²+2bx+c．
∵函数f（x）的图象过坐标原点O，在x=0处取得极值，且在点（-2，f（-2））处的切线的斜率是-16．
依题意知：

f(0)=d=0 f′(0)=c=0 f′(2)=-12-4b=-16

 解得b=1，c=d=0
（2）由（1）知，f（x）=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

①当-2≤x＜1时，f′（x）=-3x²+2x，
令f′（x）=0得：x=0或x=

2

3

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

又f（-2）=12，f（

2

3

）=

4

27

，f（0）=0．
∴f（x）在[-2，1）上的最大值为12．
②当1≤x≤2时，f（x）=alnx．
当a≤0时，f（x）≤0，f（x）最大值为0；
当a＞0时，f（x）在[1，2]上单调递增．
∴f（x）在[1，2]最大值为aln2．
综上，当aln2≤12时，即a≤

12

ln2

时，f（x）在区间[-2，2]上的最大值为12；
当aln2＞12时，即a＞

12

ln2

时，f（x）在区间[-2，2]上的最大值为aln2．

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，熟练掌握导数法求函数的单调性和极值的步骤，是解答的关键．