Question

已知a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，当n≥2时，，
（1）当a=100时，填写下列列表格：

n	2	3	35	100
an

（2）当a=100时，求数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀；
（3）令，求证：当时，．

Answer 1

解：（1）

n	2	3	35	100
an	97	94	3	1

（2）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，
从而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一组共34项，后一组共66项）
=
=1717+132
=1849．
（3）当时，因为，
所以，
当n=2k，k∈N^*时，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k
=
=-
=-
=．
因为1＜a＜，所以，
当n=2k-1，k∈N^*时，
T_n=b₁+b₂+…+b_2k-1
=
＜．
所以．
分析：解：（1）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，由此能完成表格．
（2）当a=100时，由题意知数列{a_n}的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，从而S₁₀₀=（100+97+94+…+4+1）+（3+1+…+3+1）（前一组共34项，后一组共66项），由此能求出结果．
（3）当时，因为，所以，由此能够证明当时，．
点评：本题考查数列与函数的综合运用．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．本题的易错点是不区分n的奇偶性，导致出错．