Question

3．已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，a₅=2，且a₃是a₁与-$\frac{8}{5}$的等比中项，
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）若a₁为整数，求证：$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2{S}_{i}+23i}$＞$\frac{n}{3n+3}$．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式来求数列{a_n}的首项和公差；
（2）根据等差数列的前n项和公式求得S_n=$\frac{3{n}^{2}}{2}$-$\frac{23n}{2}$，则2S_n+23n=3n²．即证$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×{2}^{2}}$+$\frac{1}{3×{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{3{n}^{2}}$＞$\frac{n}{3n+3}$即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+4d=2}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}=-\frac{8}{5}{a}_{1}}\end{array}\right.$，
解得.$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-10}\\{d=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-\frac{2}{5}}\\{d=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
故a_n=-10+3（n-1）=3n-13或a_n=-$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$（n-1）=$\frac{3}{5}$n-1，
即数列{a_n}的通项公式为：a_n=3n-13或a_n=$\frac{3}{5}$n-1；
证明：（2）∵a₁为整数，
∴a₁=-10，d=3，
∴a_n=3n-10，
∴S_n=$\frac{n（-10+3n-13）}{2}$=$\frac{3{n}^{2}}{2}$-$\frac{23n}{2}$，
则2S_n+23n=3n²．
即证$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×{2}^{2}}$+$\frac{1}{3×{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{3{n}^{2}}$＞$\frac{n}{3n+3}$．
∵$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n（n+1）}$，即$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{{n}^{2}}$＞$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{3（n+1）}$，
即$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2{S}_{i}+23i}$＞$\frac{n}{3n+3}$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用列项相消求和法是解决本题的关键．