Question

15．设命题p：f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{a{x^2}-ax+1}}}$的定义域为R；命题q：不等式3^x-9^x＜a-1对一切正实数x均成立．
（1）如果命题p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果命题p且q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如果命题p是真命题，则a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，解得实数a的取值范围；
（2）如果命题p且q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵命题p是真命题，
∴a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\{a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，
解得：a∈[0，4），
（2）若命题q：不等式3^x-9^x＜a-1对一切正实数x均成立为真命题，
则a＞3^x-9^x+1，令t=3^x，y=-t²+t+1，
则当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{5}{4}$，
故a＞$\frac{5}{4}$，
如果命题p且q为真命题，则命题p，q均为真命题，
∴a∈（$\frac{5}{4}$，4）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数的定义域，函数恒成立等知识点，难度中档．