【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,的面积为1,且椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点在椭圆上且位于第二象限,过点作直线,过点作直线,若直线的交点恰好也在椭圆上,求点的坐标.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据题设条件,列出的方程组,结合,求得的值,即可得到椭圆的标准方程;
(2)设,分和两种情况讨论,当时,联立的方程组,取得,再结合椭圆的对称性,列出方程组,即可求解
(1)由椭圆的上顶点为,的面积为1,且椭圆的离心率为,
可得,解得,
所以椭圆的标准方程为.
(2)由(1)知,椭圆的方程,可得,,
设,则,.
当时,与相交于点不符合题意;
当时,直线的斜率为,直线的斜率为,
因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为,
所以直线的方程为,直线的方程为,
联立和的方程,解得,,所以,
因为点在椭圆上,由椭圆的对称性,可知,
所以或,
由方程组,解得,而方程组无解(舍去),
所以点的坐标为.
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【题目】设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f′(x),g'(x)为其导函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g'(x)<0且g(﹣3)=0,则使得不等式f(x)g(x)<0成立的x的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣3)B.(﹣3,0)C.(0,3)D.(3,+∞)
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【题目】如图所示,是边长,的矩形硬纸片,在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后,再沿虚线折起,做成一个无盖的长方体盒子,、是上被切去的小正方形的两个顶点,设.
(1)将长方体盒子体积表示成的函数关系式,并求其定义域;
(2)当为何值时,此长方体盒子体积最大?并求出最大体积.
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【题目】某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地,地方政府准备在此建一个综合性休闲广场,首先要建设如图所示的一个矩形场地,其中总面积为3000平方米,其中阴影部分为通道,通道宽度为2米,中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同),塑胶运动场地占地面积为平方米.
(1)分别用表示和的函数关系式,并给出定义域;
(2)怎样设计能使取得最大值,并求出最大值.
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【题目】如图,四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直,,//,.
(1)证明://平面BCE.
(2)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ,求.
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【题目】设a,b∈R,关于x的方程(x2﹣ax+1)(x2﹣bx+1)=0的四个实根构成以q为公比的等比数列,若q∈[,2],则ab的取值范围为______.
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【题目】设数列的前项和为,已知.
(1)令,求数列的通项公式;
(2)若数列满足:.
①求数列的通项公式;
②是否存在正整数,使得成立?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ADC=60°,侧面PDC是正三角形,平面PDC⊥平面ABCD,CD=2,M为PB的中点.
(1)求证:PA⊥平面CDM.
(2)求二面角D-MC-B的余弦值.
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【题目】某公司生产一种智能手机的投入成本是4500元/部,当手机售价为6000元/部时,月销售量为台,市场分析的结果表明,如果手机的销售价提高的百分率为,那么月销售量减少的百分率为.记销售价提高的百分率为时,月利润是元.
(1)写出月利润与的函数关系式;
(2)如何确定这种智能手机的销售价,使得该公司的月利润最大.
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