Question

F₁，F₂是椭圆

x2

9

+

y2

4

=1的两个焦点，斜率为1的直线l过左焦点F₁，并与椭圆交于A，B两点
（1）求△ABF₂周长．
（2）求△ABF₂的面积．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的定义可得：|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，并且|AF₂|+|BF₂|=|AB|，进而得到答案．
（2）把直线AB的方程 代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|AB|的值，利用点到直线的距离，结合三角形的面积公式求得结果．

解答：解：（1）由椭圆方程可知，a=3，
△ABF₂周长=AF₁+AF₂+BF₁+BF₂=4a=12；
（2）椭圆的左焦点为(-

5

，0)，所以直线方程为y=x+

5

，
联立直线与椭圆方程

y=x+ 5 x2 9 + y2 4 =1

，消元得13x2+18

5

x+9=0，
则有

x1+x2= 18 5 13 x1x2= 9 13

，
|AB|=

1+K2

(x1+x2)2-4x1x2

=

48

13

，
点F2到直线AB的距离d=

10

，
所以△ABF₂的面积为

1

2

×

48

13

×

10

=

24 10

13

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的定义．